जहां अंतर समीकरणों को लागू किया जाता है

उन्नत पाठ्यक्रमों में उन्नत गणित का अध्ययन करने वाले कई छात्रों ने शायद सोचा है: व्यवहार में अंतर समीकरणों (डीए) का उपयोग कहां किया जाता है? एक नियम के रूप में, इस मुद्दे पर व्याख्यान में चर्चा नहीं की जाती है, और शिक्षक तुरंत वास्तविक जीवन में अंतर समीकरणों के उपयोग के बारे में छात्रों को समझाए बिना नियंत्रण सिद्धांत के समाधान के लिए आगे बढ़ते हैं। हम इस अंतर को भरने की कोशिश करेंगे।

हम एक अंतर समीकरण को परिभाषित करके शुरू करते हैं। तो, एक विभेदक समीकरण एक समीकरण है जो फ़ंक्शन के लिए एक व्युत्पन्न फ़ंक्शन के मूल्य से संबंधित है, एक स्वतंत्र चर के मान और कुछ संख्याएं (पैरामीटर)।

सबसे आम क्षेत्र जिसमें अंतर समीकरणों को लागू किया जाता है वह प्राकृतिक घटनाओं का गणितीय विवरण है। उनका उपयोग उन समस्याओं को हल करने में भी किया जाता है जहां एक प्रक्रिया का वर्णन करने वाले कुछ मूल्यों के बीच सीधा संबंध स्थापित करना असंभव है। इस तरह के कार्य जीव विज्ञान, भौतिकी और अर्थशास्त्र में उत्पन्न होते हैं।

जीव विज्ञान में:

जैविक समुदायों का वर्णन करने वाला पहला पर्याप्त गणितीय मॉडल लोटका-वोल्त्रा मॉडल था। यह दो परस्पर क्रिया करने वाली प्रजातियों की आबादी का वर्णन करता है। उनमें से पहला, जिसे शिकारी कहा जाता है, कानून के अनुसार मर जाता है x '= –ax (a> 0) दूसरी की अनुपस्थिति में, और दूसरा, शिकारियों की अनुपस्थिति में, शिकारियों की गैर-मौजूदगी में माल्थिस कानून के अनुसार असीमित रूप से गुणा किया जाता है। इन दो प्रजातियों की बातचीत निम्नानुसार मॉडलिंग की जाती है। शिकारियों और पीड़ितों की मुठभेड़ों की संख्या के बराबर पीड़ितों की मृत्यु हो जाती है, जिसे इस मॉडल में दोनों आबादी की संख्या के अनुपात के समान माना जाता है, यानी dxy के बराबर (d> 0)। इसलिए, y '= by - dxy। शिकारियों की संख्या शिकार खाने वालों की संख्या के अनुपात में होती है: x '= –ax + cxy (c> 0)। समीकरणों की प्रणाली

x '= –ax + cxy, (1)

y '= द्वारा - dxy, (2)

इस तरह की आबादी का वर्णन करते हुए, एक शिकारी एक शिकार है और इसे ट्रे - वोल्त्रा सिस्टम (या मॉडल) कहा जाता है।

भौतिकी में:

न्यूटन का दूसरा नियम एक विभेदक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), जहाँ m शरीर का द्रव्यमान है, x इसका निर्देशांक है, F (x, t) समय t पर समन्वय x के साथ शरीर पर कार्य करने वाला बल है। उसका समाधान संकेत बल की कार्रवाई के तहत शरीर का प्रक्षेपवक्र है।